Όλοι έχουμε πάρει χαμπάρι από διάφορα δημοσιεύματα ότι ο Covid-19 εξαπλώνεται “εκθετικά” και όλοι το ακούμε με κάποιου είδους απροσδιόριστου τρόμου…
Μήπως είναι τρόμος για τα μαθηματικά από πίσω (που λίγοι τα θυμούνται) ή απλά ο φόβος της άγνωστης λέξης;
Για να το κάνω πιο λιανά, θα προσπαθήσω κι εγώ μαζί σας να θυμηθώ τι κάνει τους εκθέτες τόσο τρομακτικούς σε σχέση με μία π.χ. γραμμική συνάρτηση.
Ξεκινάμε από τα βασικά:
Μία γραμμική συνάρτηση είναι του τύπου f(x) = αx, όπου α είναι η σταθερά που καθορίζει την “κλίση” της, ή αλλιώς το πόσο “γρήγορα” αυξάνει το f(x) σε σχέση με το x.
Για παράδειγμα, η f(x) = 2x (όπου α=2) διπλασιάζει την τιμή του f(x) για κάθε αύξηση του x…έτσι αν:
- x=1 τότε f(x)=2
- x=2 τότε f(x)=4
- x=3 τότε f(x)=6
- κ.ο.κ.
Not so scary huh?
Κι αν είναι το α πολύ μεγάλο; Του τύπου α=10000; Τότε δεν είναι τρομακτικό; Είναι λίγο, το παραδέχομαι, διότι, αν:
- x=1 τότε f(x)=10000
- x=2 τότε f(x)=20000
- x=3 τότε f(x)=30000
- κ.ο.κ.
Αλλά και πάλι, ωχριά μπροστά στην εκθετική αύξηση και θα δούμε παρακάτω το γιατί!
Ας δούμε, ενδιάμεσα την κυβική συνάρτηση (μη γραμμική, αλλά ούτε εκθετική) και την ανάπτυξή της, την οποία θα χαρακτηρίσουμε “μέτρια” τρομακτική:
f(x) = x3 (δηλ. τη δύναμη του 3)
- Άν x=1 τότε f(x)=1
- Άν x=2 τότε f(x)=8
- Άν x=3 τότε f(x)=27
- Άν x=4 τότε f(x)=64
- Αν x=5 τότε f(x)=125
- κ.ο.κ.
Για πότε φτάσαμε πάνω από το 100 ε; Και χωρίς συντελεστές τίποτα, μόνο μία τρίτη δύναμη για το x.
Πάμε τώρα στο καλό το πράμα, το πράμα από τη Δράμα κτλ…
Θα πάρουμε την πιο χαλαρή και διαδεδομένη εκθετική συνάρτηση:
f(x) = 2x (υψώνουμε στο x το απλό το 2αράκι)
Στην αρχή φαίνονται χαλαρά τα πράγματα (θυμίζει κάτι;)
- Άν x=1 τότε f(x)=2
- Άν x=2 τότε f(x)=4
- Άν x=3 τότε f(x)=8
- Άν x=4 τότε f(x)=16
- Άν x=5 τότε f(x)=32
- Άν x=6 τότε f(x)=64
Ωπ! κάπου το ξαναείδαμε το 64 και ήταν πιο πριν στη σειρά (βλ. παραπάνω!)…Ναι, όντως, αλλά κάπου εδώ αρχίζει και ξεφεύγει το πράγμα:
- Άν x=7 τότε f(x)=128
- Άν x=8 τότε f(x)=256
- Άν x=9 τότε f(x)=512
- Άν x=10 τότε f(x)=1024
- Άν x=11 τότε f(x)=2048
- Άν x=12 τότε f(x)=4096
- κ.ο.κ.
Παρατηρείστε ότι έχουμε φτάσει σε ένα νούμερο που ούτε η κυβική f(x)=x3 δεν το πιάνει για x = 12 (123=1728).
Επίσης έχουμε πάρει τη μικρότερη δυνατή συναρτησούλα χωρίς συντελεστές, νέτη σκέτη που λένε.
Και αν νομίζετε ότι είναι αθώα σκεφτείτε το εξής:
Σύμφωνα με ένα παλιό μύθο, o βεζίρης Sissa Ben Dahir παρουσιάστηκε στον Ινδό βασιλιά Βασιλιά Sharim με μια όμορφη, χειροποίητη σκακιέρα. Ο βασιλιάς ρώτησε τι θα ήθελε ως αντάλλαγμα για το δώρο του και ο αυλικός εξέπληξε το βασιλιά, ζητώντας έναν κόκκο ρυζιού στο πρώτο τετράγωνο, δύο κόκκους στο δεύτερο, τέσσερις κόκκους στο τρίτο κ.λ.π.
https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%95%CE%BA%CE%B8%CE%B5%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CE%B1%CF%8D%CE%BE%CE%B7%CF%83%CE%B7
Όπως λέει και η Wikipedia παραπάνω, και συνεχίζω εγώ, αυτό που έκανε ο βεζίρης / χωρικός (υπάρχουν πολλές παραλλαγές στο μύθο) ήταν να ζητήσει την f(x)=2x για x=8*8=64!! (όσο η σκακιέρα).
Το αποτέλεσμα:
18.446.744.073.709.551.616
Ζαλίζει ε;
Στο παραπάνω link υπάρχει και ολόκληρη η ιστορία πίσω από την εκθετική αύξηση.
Πάμε τώρα στον Covid-19!
ΔΕΝ θα προσπαθήσουμε για κανένα λόγο να βγάλουμε καμιά συνάρτηση από τη γκλάβα μας να πούμε!
ΔΕΝ θα τσιμπήσουμε καν το μελανούρι ότι ξέρουμε τις παραμέτρους της.
Μάλιστα, θα αμφισβητήσουμε κιόλας την ίδια την έννοια της μοντελοποίησης που προβάλλεται, διότι μάλλον είναι πρόωρη και αστοιχείωτη!
Όπως πολύ καλά τα λέει εδώ:
https://ourworldindata.org/coronavirus
δεν έχουμε απλά επαρκή στοιχεία για να δώσουμε μια σαφή εξήγηση για την εξάπλωση του ιού (για διάφορους λόγους), ενώ σε περιοχές που παρουσιάζει ύφεση, όπως η Κίνα (πλέον, ποιος θα μας το έλεγε!), προφανώς το μοντέλο της εκθετικής αύξησης έχει πάψει προ πολλού να ισχύει.
Αυτό που ανησυχεί είναι ότι στον παρακάτω πίνακα (από την ίδια πηγή, πιο κάτω!):
https://ourworldindata.org/coronavirus#growth-country-by-country-view
αν παρατηρήσετε είμαστε σε χειρότερη θέση (!) από την Ιταλία πλέον, όσον αφορά τον διπλασιασμό των κρουσμάτων ανά x μέρες (εμείς 2, οι Ιταλοί 5).
Άρα αυτό που πέρασαν οι Ιταλοί περιμένουμε κατά τα φαινόμενα, εξ’ ου και όλες οι εκκλήσεις για lockdown!
Η λογική λέει ότι σε αντίθεση με μία συνάρτηση όπως η παραπάνω, ό,τι ανεβαίνει κατεβαίνει, θα γυρίσει ο τροχός, τα πάντα ρει κτλ. και γενικώς δεν μπορεί να έχουμε ΜΟΝΟ μία πορεία προς τα πάνω, των κρουσμάτων, παντού.
Οπότε αναμένουμε στο ακουστικό μας και όπου μας βγάλει!
Πάμε στο άγνωστο με βάρκα την ελπίδα
https://www.artsandthecity.gr/stixoi/%CF%80%CE%AC%CE%BC%CE%B5-%CF%83%CF%84%CE%BF-%CE%AC%CE%B3%CE%BD%CF%89%CF%83%CF%84%CE%BF/
πάμε να ζήσουμε σε κόσμους μακρινούς
να βγούμε λίγο απ’ της ζωής την καταιγίδα
και να γνωρίσουμε καινούργιους ουρανούς.
Υ.Γ. Πάντα πίστευα ότι η Υπομονή είναι η μεγίστη Αρετή! (sic!)
